Webboard

Czy jest możliwość jakoś za pomocą JS'a zablokować możliwość kliknięcia w inne przyciski submit po kliknięciu jednego przycisku?

Można, np. w ten sposób:

Musisz mieć jednak na uwadzę, że blokowanie tego przez JS po stronie klienta nie jest najlepszym rozwiązaniem. Każdy będzie mógł sobie to edytować i włączyć klikanie innych przycisków.

A jak to zrobić dokładnie, żeby to działało? Ja dopiero zaczynam swoją przygodę z JS

Tak dokładnie to będzie to wyglądać w ten sposób https://jsfiddle.net/6cohzLhu/

Czyli podpinasz funkcję przez onclick, a w samej funkcji wybierasz elementy spełniające kryteria używając querySelectorAll, potem używając pętli "przechodzisz" po każdym elemencie listy elementów i nadajesz właściwość "disabled".
Jak Divir słusznie zauważył, robienie tego po stronie klienta jest generalnie średnim rozwiązaniem, ale to już zależy od tego co konkretnie chcesz osiągnąć

A jak zrobić jeszcze tak, że po kliknięciu w dany przycisk jego tło się zmienia, tak jak jest w jakichś quizach, a jak w inny przycisk to się zmienia na inne tło?

Zasada będzie podobna, z tym że w tym wypadku trzeba przechwycić kliknięty element, wszystkim elementom nadać/zresetować stylowanie, i nadać styl klikniętemu elementowi.
Przykładowy sposób: https://jsfiddle.net/ocryusz2/